On réduit trop souvent la démonstration à une question de légitimation, de reconnaissance du vrai. On comprend alors la difficulté que l’on rencontre lorsqu’un élève affirme que c’est évident et ne comprend pas l’intérêt d’une démonstration. Mais la démonstration n’a pas pour seul objectif de dire le vrai, elle permet aussi de le comprendre et de répondre a la question: pourquoi est-ce comme cela et pas autrement ?
C’est cette question qui est en jeu dans la construction de l’intelligibilité et qui conduit à la notion du nécessaire. La question de la démonstration est alors moins d’en codifier a priori les règles que de comprendre pourquoi de telles règles sont nécessaires. Il faut alors partir du raisonnement informel ; c’est aux limites du raisonnement informel que l’on comprend en quoi il peut être insuffisant et comment on peut construire les codifications nécessaires. Si la démonstration ne se réduit pas au raisonnement en ce sens qu’elle le réorganise, l’étape du raisonnement informel, de l’explication approximative, apparaît comme une étape obligée pour comprendre les enjeux de la démonstration. La démonstration apparaît ainsi comme une structuration du raisonnement ; l’auteur distingue ici « structuration » et « formalisation », la formalisation n’étant qu’un aspect particulier de cette structuration. Raisonnement et démonstration participent à la construction de l’intelligibilité du monde.
Il ne précise pas ici ce que l’on entend par le monde et ne distingue pas entre un monde physique et un monde mathématique ; par contre, il explique comment la construction d’un objet « abstrait » participe à la construction de l’intelligibilité. En ce sens la géométrie participe, par les objets qu’elle étudie, à cette construction de l’intelligibilité. Pour expliciter comment se mettent en place des règles de raisonnement conduisant à la démonstration, il propose d’analyser divers modes de démonstration de géométrie élémentaire.