nombre polygonal

nombre k-gonal

ARITHMETIQUE

Il ne faut pas confondre nombre polygonal et nombre polygonal centré.
Par convention, 1 est le premier nombre polygonal quel que soit le nombre de côtés.
On préfère, surtout pour les n assez grands, remplacer le préfixe par le nombre de côtés. Par exemple nombre décagonal par 10-gonal.

Un nombre polygonal, nombre k-gonal, est un nombre figuré plan qui peut être représenté par un ensemble de polygones réguliers convexes.

La méthode pour agrandir la figure consiste à prolonger deux côtés adjacents d’un seul point, puis à compléter par des points pour obtenir les côtés supplémentaires manquants. Le nombre figuré est le nombre total de points placés sur le diagramme.

Un nombre k -gonal de rang n est la somme de n premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison k-2.
Pour chaque type de polygone, le nombre représenté est donné par la formule suivante : le nombre k-gonal de rang n est n((k-2)n-(k-4))/2
Fermat a conjecturé, et Cauchy a démontré que tout nombre polygonal peut être représenté sous forme de la somme d’au plus k polygonaux de même ordre.

Un nombre polygonal centré est un nombre figuré centré plan représenté par des couches successives de polygones réguliers convexes semblables, à partir d’un point placé au centre. On compte le nombre total de sommets.

Remarquons que pour les triangles et les carrés, nombre polygonal et nombre polygonal centré reviennent au même.