nombre premier
ARITHMETIQUE
Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs : 1 et lui-même.
Un nombre qui n’est pas premier est composé, sauf 0 et 1 qui ne sont ni premiers ni composés.
Il existe une infinité de nombres premiers.
Un nombre composé est factorisable en un produit de nombres premiers, et que cette factorisation est unique à l’ordre des facteurs près (théorème fondamental de l’arithmétique).
Au départ notion d’arithmétique élémentaire, l’étude des nombres premiers est le point de départ de branches des mathématiques importantes, développées depuis l’antiquité et connaît d’importantes applications notamment en cryptographie.
On ne connaît pas d’algorithme donnant la suite des nombres premiers. La recherche de critères permettant de savoir si un nombre est ou non premier a donné lieu à de nombreux travaux qui aboutissent à des tests de primalité appuyés sur des propréités vérifiées par les nombres premiers.
De même on a cherché des très grands nombres premiers (ce qui n’implique pas qu’on connaît tous ceux qui sont plus petits). Le plus grand nombre premier connu en 2008 est « 243 112 609 – 1 », nombre de Mersenne qui comporte près de 13 millions de chiffres en écriture décimale.
L’étude des nombres premiers est liée à des structures algébriques ainsi qu’à des structures topologiques.
Ces travaux ont conduit à des types de nombres premiers comme les nombres premiers de Fermat ou les nombres premiers de Mersenne (mais tout nombre de Fermat n’est pas premier et tout nombre premier n’est pas de Fermat, de même pour Mersenne et d’autres types de nombres).
Il reste de nombreuses question ouvertes et conjectures sur les nombres premiers, la plus célèbre étant sans doute la conjecture de Goldbach .