Un « avant-propos » justifie l’intérêt pour la géométrie, puis pour « l’enseignement en spirale » viennent ensuite six parties, chacune subdivisée en chapitres, après une « introduction » :
I. « Les origines de la géométrie » :
L’introduction précise trois approches classiques (l’histoire, l’ethnologie, la psychologie génétique) pour en proposer une quatrième » qui se situe pour l’essentiel dans le présent […], dans la civilisation qui est la nôtre […], et dans la pensée adulte […] ». Suivent des explications détaillées dont voici un aperçu :
– la pensée géométrique est provoquée par des questions [ainsi « pourquoi la bande de papier que l’on noue donne-t-elle un pentagone régulier ? »].
– « où trouver des explications ? »… En s’appuyant sur des « évidences » offertes par l’environnement immédiat, « en expliquant leur nature et leur origine, celle des premiers concepts et des premières évidences géométriques », en « partant du terrain de l’élève mais sans oublier où l’on va », « en demeurant dans le concret des observations utiles aux enseignants, en quelque sorte au niveau d’un bon sens éclairé, d’une expérience argumentée ».
Cela va être développé en quatre chapitres :
– « La perception des objets » avec leur « construction mentale », la reconnaissance de congruences et de similitudes, l’effet des « positions privilégiées ».
– « Les étapes de la conceptualisation » : « pré-concepts », « objets mentaux », « concepts formels ». « Chaque niveau intègre les niveaux antérieurs en une totalité de sens  » et  » les trois niveaux doivent être exercés… ».
– « Les objets géométriques : du simple au complexe », où il est, notamment, question de symétries plus ou moins fortes.
– « Des objets mentaux aux inférences », à propos des perpendiculaires, parallèles et obliques, de l’inégalité triangulaire, … Cela « vers une théorie « …
En appendice : Les débuts (2 pages) de la géométrie d’Euclide.

II. « Une géométrie naturelle »
(… « cette première géométrie argumentée recouvre l’essentiel du programme français du Collège »…).
Cette géométrie-là cherche à respecter deux principes, qui la distinguent des géométries constituées :
– elle n’exclut au départ aucun des moyens de connaissance et de pensée disponibles (figures-clés de base, symétries et mouvements simples, … : on est loin des axiomatiques »minimales » par principe opposé !) ;
– elle ne s’appuie au départ sur aucune connaissance non disponible au débutant. Ajoutons, vis-à-vis de la « rigueur » que celle-ci ne vaut qu’en fonction de remises en cause…
Six chapitres :
– « Perpendiculaire et obliques » : Partant de la structure de base constituée d’une droite, une perpendiculaire et deux obliques, ce chapitre se poursuit par d’assez nombreuses évidences relatives à la médiatrice d’un segment, au triangle isocèle, au losange, à un cercle muni d’une corde, à la bissectrice d’un angle.
…, médiatrice , …, triangle isocèle, caractérisation du losange, cercle et droite, bissectrice, cercles circonscrit et inscrit, …
– « Trois segments » : Partant des évidences relatives à l’inégalité triangulaire, le chapitre débouche sur l’intersection de deux cercles et les cas d’égalité des triangles.
– « Rectangles, cercles et angles ». Ce chapitre part de quelques propriétés élémentaires du rectangle et traite ensuite de l’angle au centre dans un cercle, de l’arc qu’il intercepte et de la corde qui sous-tend cet arc. Il conduit aux propriétés des angles inscrits dans un cercle et se termine par la question des quadrilatères inscriptibles.
– « Parallèles et angles » … avec pavages du plan. Le chapitre part de la structure de base constituée par deux parallèles et une transversale, rassemble au départ un tout petit nombre d’évidences et débouche sur une série de propriétés des angles des polygones.
– « Le théorème de Pythagore » …, et sa réciproque (avec une démonstration par continuité). Ce chapitre traite des puzzles de carrés et de triangles qui conduisent au théorème de Pythagore et à sa réciproque.
– « Parallèles et longueurs », … où inter-viennent le parallélogramme et le théorème de Thalès (limité à Q). La situation de base est proche de celle du « Parallèles et angles ». De quelques évidences au départ, ce chapitre tire de multiples propriétés sur la conservation des rapports, les homothéties, les systèmes de coordonnées et les équations de droites.

III. « La géométrie en classe à douze ans »
Cette troisième partie a été rédigée avant la seconde. Elle montre « comment intéresser des jeunes […] aux premiers développements de la géométrie ».
Deux chapitres :
– « Assembler des figures ».
– « Figures en mouvement », avec l’objectif « de mettre à la disposition des enseignants du début du secondaire une façon d’articuler situations-problèmes et construction théorique ».
Deux préoccupations montrent l’importance :
– des transformations, et leur usage simple « en ne négligeant pas les intuitions de mouvement » [j’ajoute : ainsi, peut-on, sans cours sur la rotation, l’utiliser pour prouver …],
– « des constructions aux instruments ». Suivent des exploitations de papiers peints et d’assemblages, avec synthèses mathématiques.

IV. « Représenter les objets »
… « l’intellect permet de dépasser les limitations des sens ».
Trois chapitres :
– « Les projections orthogonales ».
– « Les perspectives parallèles ».
– « La perspective cavalière ».

V. « Grandeurs, repérages, linéarité »
Il s’agit d’abord d’une mise au point sur la fonction linéaire.
Puis, quatre chapitres :
– « Grandeurs, mesures et nombres positifs ».
– « Repérages ».
– « Vecteurs » (avec usage des forces, des moments, et de conditions d’équilibre).
– « Transformations linéaires ».

VI. « L’orientation », pour
– Les droites.
– Les plans.
– L’espace.

* Un appendice compare, en un glossaire, les mots « congruent », « de même mesure », « égal », « identique », « isométrique », « le même », …, « superposable ».

* Un « résumé et conclusion » dégage des lignes de force émergentes au long de l’ouvrage. J’en cite quelques-unes (explicitées et commentées dans la brochure) :
– par son utilisation du mouvement, par exemple pour amener en « situation privilégiée », « la géométrie plane est d’abord une géométrie de l’espace »,
– « la manipulation, l’observation et la construction d’objets » ne sauraient être négligées,
– « la géométrie donne une maîtrise de l’espace, un pouvoir sur l’espace, qui dépasse les capacités des sens »,
– « les isométries et similitudes sont constitutives de la notion d’objet, les objets sont structurés par des éléments de symétrie, […], les représentations planes sont des transformations d’objets, […]. Au total, les figures et les transformations nous semblent être, d’un bout à l’autre de l’enseignement, et dans le fond, de la géométrie elle-même, les deux saisit et interprète les unes en s’appuyant sur les autres et réciproquement. La géométrie est un dialogue ininterrompu entre les figures et les transformations »,
– « l’apprentissage de la géométrie de l’espace provoque un paradoxe : d’une part on ne peut pas apprendre cette géométrie sans s’appuyer sur des représentations, et d’autre part il faut connaître assez de géométrie pour interpréter ces représentations, et davantage pour en produire »,
– la linéarité est un bon fil conducteur (en l’émaillant de contre-exemples, ainsi pour les projections cartographiques).

* La conclusion de l’ouvrage : « […] il faut bien tâcher de saisir, en dépassant toutes les divisions horizontales du système d’enseignement, d’où on vient, où on va et comment on y va ».

Un autre volume de la même collection, intitulé « Construire et Représenter, un aspect de la géométrie de la maternelle jusqu’à 18 ans » développe des matériaux pour les classes en s’inspirant du présent volume.