petit théorème de Fermat
ARITHMETIQUE
Le « petit » théorème de Fermat (par opposition au « grand » qui est maintenant le théorème de Fermat-Wiles ) est un résultat d’arithmétique que Fermat a énoncé en 1640 dans une lettre à Frénicle de Bessy , sans donner de démonstration. Plus tard, Leibniz , Euler , Gauss en publient des démonstrations.
Enoncé : si p est un nombre premier et si a est un entier non divisible par p, alors ap-1 – 1 est un multiple de p.
Enoncé équivalent : si p est un nombre premier et si a est un entier quelconque, alors ap – a est un multiple de p.
Ce théorème est utilisé pour étudier la décomposition en produit de facteurs premiers. C’est ainsi qu’Euler prouve que les nombres de Fermat ne sont pas tous premiers. Il est utilisé en théorie algébrique des nombres, a des applications en cryptographie, en arithmétique modulaire .