problème de Flavius

problème de Josèphe
problème de Caligula

ARITHMETIQUE

L’historien Flavius Josèphe raconte que, lors d’une guerre entre Rome et Jérusalem (en 67 après J.-C.), il se retrouva piégé dans une grotte avec 40 de ses compagnons dont la plupart décidèrent de se suicider plutôt que de se rendre. Il proposa alors une méthode de tirage au sort de l’ordre des suicides. Mais soit le hasard, soit que lui-même ne le souhaitant pas (tout en n’osant pas le dire au groupe) et qu’il eut bien calculé, lui-même et un de ses amis, restés les derniers, eurent la vie sauve.
Il proposa que l’on se mette en cercle et que chaque troisième personne soit tuée, la dernière devant se suicider. Se plaçant lors en 31e position, il se retrouva l’un des deux seuls survivants, l’autre étant placé en 16e position.

De cet épisode découle le problème de Flavius Josèphe : n personnes sont placées en cercle, chacune énonce dans l’ordre les nombres de 1 à k, puis on reprend à 1. Tous ceux qui ont dit le nombre k sortent du cercle. Lesquels resteront les derniers ?
Il existe plusieurs variantes de ce problème, posées notamment par Ben Ezra , Tartaglia