quantile

fractile

STATISTIQUES

On considère une série statistique de n données quantitatives x_i ordonnées par valeurs croissantes. L’indice i varie de 1 à n, c’est le rang de la donnée x_i.
Nous adoptons ici la définition mise en œuvre dans le tableur Excel, utilisant la notion de rang généralisé.
Soit R un réel de [1;n[ et r=Ent(R). La valeur x_R est la valeur obtenue par interpolation entre les données x_r et x_r+1, proportionnellement à la partie décimale de R (Dec(R)=(R-r)). On a donc x_R=x_r+Dec(R)(x_r+1-x_r). R est le rang généralisé de la valeur x_R.

– Fractiles de la série statistique
Soit q un entier supérieur à 1. Les fractiles d’ordre 1/q de la série statistique sont formés par q-1 valeurs qui partagent la série en q sous séries de mêmes effectifs (en gros n/q).
Dans le contexte des tableurs, le p-ième fractile d’ordre 1/q (1 inférieur ou égal à p inférieur ou égal à q-1) est la valeur de rang généralisé égal à 1+p(n-1)/q. Ainsi, si k=Ent(1+p), Fp=x+Dec(1+p)(x_k+1-x_k).
On obtient la médiane Me pour q= 2, les quartiles Q, Q₂, Q₃, pour q=4, les déciles pour q=10 et les centiles pour q=100. Les percentiles sont les valeurs de rangs généralisés p/100 exprimés en pourcentages.

– Quantile (ou fractile) d’ordre p;
Soit p un réel de ]0;1[. Le quantile x_p d’ordre p est la valeur de rang généralisé 1+p(n-1). Si k=Ent(1+p(n-1)), q_p=x_k+Dec(1+p(n-1)) (x_k+1-xk). Grossièrement, q_p partage la série en deux sous séries dont les effectifs sont dans le même rapport que p et 1-p.

– Quantile d’une loi de probabilités;
Soit X une variable aléatoire dont la loi est représentée par la fonction de répartition F_X.
Soit p un réel de ]0;1[. Le quantile x_p d’ordre p est une valeur, si elle existe, vérifiant F_X(x_p)= P(X inférieur ou égal à x_p)=p.
Il peut être aussi défini comme une valeur x_p vérifiant P(X inférieur ou égal à x_p) et P(X supérieur ou égal à x_p) supérieur ou égal à 1-p.
Pour une loi absolument continue, F_X étant strictement croissante, on a x_p=(F_X-1)^-1(p).