relation d’ordre

ALGEBRE

On dit qu’une relation est une relation d’ordre si elle est :
• antisymétrique
• réflexive
• transitive

À toute relation d’ordre, notée ≼, on associe une relation dite d’ordre strict, notée ≺, définie par :
x ≺ y signifie : x ≼ y et x ≠ y
La relation ≼ est dite d’ordre large.

Comparer deux éléments x et y, c’est chercher à savoir si x est relié à y ou si y est relié à x.

On distingue aussi :
• L’ordre total : étant donnés deux éléments x et y, on a soit x relié à y, soit y relié à x ; autrement dit, on peut toujours comparer deux éléments de l’ensemble à l’aide de la relation.
• L’ordre partiel : il existe un couple (x ; y) tel que x n’est pas relié à y et y n’est pas relié à x ; autrement dit, il existe deux éléments non comparables dans l’ensemble.

La relation d’inclusion sur les parties d’un ensemble est un exemple de relation d’ordre.