théorème du papillon

GEOMETRIE

On peut citer deux théorèmes appelés « théorème du papillon », ce nom étant dû à la forme de la figure géométrique associée.

1 – La proposition 27 du premier livre d’Euclide , dont la démonstration utilise essentiellement le fait que deux triangles ayant un côté commun et la hauteur correspondante de même longueur ont la même aire :
En joignant par deux sommets deux couples de points pris sur des droites parallèles, on obtient deux ailes de papillon qui ont la même aire.
Voir https://mathsmagiques.fr/pages/hist_mat/textes/euclide_papilllon.htm

Un autre énoncé est : Si ABCD est un quadrilatère concave tel que AB et CD se coupent en O, alors les triangles AOD et COB ont même aire si et seulement si AC est parallèle à BD.

2 – le théorème du papillon, ou butterfly theorem dont voici l’énoncé :
Dans un cercle, AB est une corde de milieu I, CD et EF sont deux autres cordes passant par I. Soient M et N les points d’intersection de AB avec FC et DE. Alors I est milieu de MN. Il en est de même pour les points P et Q, intersections de AB avec FD et CE.

Malgré son énoncé très simple, il n’est pas très facile à démontrer.
D’après Coxeter et Greitzer, ce problème aurait été résolu en 1815 par Horner . Récemment on a retrouvé une solution due à William Wallace, datant de 1805.
Remarque : il ne faut pas confondre ces théorèmes avec le lemme du papillon, ou lemme de Zassenhaus, qui est un résultat de théorie des groupes.