théorèmes de Sylow

ALGEBRE

Les théorèmes de Sylow sont des résultats de théorie des groupes finis. Ils doivent leur nom au mathématicien norvégien Ludwig Sylow qui les a démontrés en 1873.

Soit G un groupe fini d’ordre n, p un diviseur premier de n, p^k la plus grande puissance de p dans la décomposition de n en facteurs premiers.
Le premier théorème de Sylow énonce que :
Si α ∈ N, 1 ≤ α ≤ k, alors G admet au moins un sous-groupe d’ordre p^α.
Remarque : pour α= 1 on retrouve le théorème de Cauchy en théorie des groupes.
Pour α= k les sous-groupes correspondants sont appelés p-sous-groupe de Sylow.

Théorème 2 : tous les p-sous-groupes de Sylow sont conjugués entre eux.

Ils sont donc tous isomorphes et d’ordre p^α

Théorème 3 : Le nombre de p-sous-groupes de Sylow est congru à 1 modulo p
et tout sous-groupe d’ordre p^α est inclus dans un tel sous-groupe.