théorème d’Erdös-Szekeres
GEOMETRIE
Enoncé du théorème d’Erdös-Szekeres : Pour tout entier N, tout ensemble assez grand de points du plan en position générale contient un sous-ensemble de N points qui forment un polygone convexe.
Cet énoncé est une généralisation du théorème d’Esther Klein (dit aussi problème de la fin heureuse).
Appelons f(N) le plus petit des entiers m tels qu’un ensemble de m points en position générale contient un polygone convexe à N sommets.
D’après le théorème d’Esther Klein , f(4)=5
Erdős et Szekeres ont démontré en 1935 que : f(5)=9
Szekeres et Peters ont démontré en 2006 que : f(6)=17
en revanche on ne connaît pas la valeur de f(N) pour N>6 .
Erdős et Szekeres ont démontré que cette valeur est finie et ont énoncé la conjecture suivante :
Soit f(N) le plus petit des entiers m tels qu’un ensemble de m points (en position générale) contient une polygone convexe à N sommets.
Alors on a f(N) = 1 + 2N-2 pour N ≥ 3