Problème de départ : 3 points non alignés étant donnés, où doivent se trouver les points M tels que les orthocentres des triangles MAB, MBC et MCA soient strictement intérieurs à son triangle ?
En s’occupant d’abord d’une condition, puis de deux, … l’auteur a été conduit à des aperçus très divers, certains exploitables dès la 6e, d’autres en lycée, selon le niveau de rigueur exigé et les conditions de recherche. Les études géométriques correspondantes sont détaillées, sans s’interdire de faire appel à des logiciels de géométrie. Le problème initial induit d’autres problèmes qui se développent indépendamment de lui dans de riches annexes (2, 3 et 5) qui, avec l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, fait intervenir des conchoïdes, et une cardioïde plus précisément étudiée. Pour terminer, l’annexe 4 donne deux nouvelles solutions pour un problème classique surgi de l’annexe 3 concernant le triangle isocèle, inscrit dans un cercle, d’aire maximale.