Bulletin de l’APMEP. N° 322. p. 21-30. A propos de l’irrationalité de la constante d’Apéry.

English Title : The irrationality of the sum of the reciprocal cubes of natural numbers. (ZDM/Mathdi)
Deutscher Titel : Zur Irrationalitaet der Summe ueber die reziproken Kuben der natuerlichen Zahlen. (ZDM/Mathdi)

Une version texte intégral est en téléchargement sur le site Bibliothèque numérique des IREM et de l’APMEP Télécharger

Auteurs : Batut Christian ; Mendès France Michel

Résumé

Les auteurs de cet article se proposent de discuter le point de départ de la démonstration d’Apéry puis de préparer le terrain pour ensuite exposer la preuve complète de l’irrationalité de zêta(3).
Voici le plan de l’article :
– Zêta(3) est irrationnel : Apéry l’a établi en 1978
– Rigueur : une nécessité en mathématiques ?
– Une série divergente d’Euler
– Une aberrante égalité d’Apéry
– Fractions continues et nombres irrationnels
– Polynômes et fractions continues de Stieljies
– Irrationalité de zêta(3).

Abstract

It has been known for a long time that Riemann’s zeta function is irrational for z=2k (k = natural number, k >= 1), whereas this was completely uncertain for z=2k+1 (k = natural number, k >= 1) until Apery found out that it is also irrational for z = 3 in Juni 1978. His proof, however, is incomplete, very complicated but above all based on partly ‘illegal’ methods. After three mathematicians had been able to fill these gaps and to ‘legalize’ the whole proof shortly afterwards, Beukers found a simple proof based only on Legendre’s polynomials and on continued fractions, which is demonstrated in this article. (ZDM/Mathdi)

Zusammenfassung

Seit langem ist bekannt, dass die Riemannsche Zetafunktion fuer z=2k, k natuerliche Zahl, k >= 1 irrational ist, waehrend fuer z=2k+1 , k natuerliche Zahl, k >= 1 diese Frage voellig offen war; bis Apery im Juni 1978 entdeckte, dass sie auch fuer z = 3 irrational ist. Sein Beweis ist jedoch lueckenhaft, aeusserst kompliziert, aber vor allem auf zum Teil ‘illegalen’ Methoden begruendet. Nachdem es kurz darauf drei Mathematikern gelungen war, diese Luecken zu schliessen und den Beweis insgesamt zu ‘legalisieren’, fand Beukers einen einfachen, lediglich auf Legendrepolynomen und Kettenbruechen basierenden Beweis, der in diesem Artikel vorgefuehrt wird. (ZDM/Mathdi)

Notes

Cet article est publié sous la rubrique « Etudes ».

Le Bulletin de l’APMEP (appelé « Bulletin Vert ») s’efforce, par des articles de fond : de couvrir l’actualité de l’enseignement des mathématiques de la maternelle à l’université, de contribuer à la formation approfondie des enseignants, d’entretenir, chez ceux-ci, l’esprit de recherche et de susciter des échanges avec ses lecteurs.
Il paraît 5 fois par an de sa création à 2018, année où suite à un changement de politique éditoriale, l’APMEP publie une revue unique Au Fil des Maths – le Bullletin de l’APMEP.

Données de publication

Éditeur Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public (APMEP) Paris , 1980 Format A5, p. 21-30 Index Bibliogr. p. 30-30
ISSN 0240-5709

Public visé chercheur, enseignant, formateur

Type article de périodique ou revue Langue français Support papier