Bulletin de l’APMEP. N° 329. p. 435-441. Schéma de Bernoulli et planchettes à clous.
English Title : Binomial distribution and Galton's board. (ZDM/Mathdi)
Deutscher Titel : Binomialverteilung und Galton-Brett. (ZDM/Mathdi)
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Auteur : Hennequin Paul-Louis
Résumé
Dans cet article, l’auteur se propose d’illustrer, à l’aide du montage matériel connu sous le nom de planche de Galton, le schéma de Bernoulli qui permet d’étudier la somme de n variables indépendantes de même distribution (1 avec probabilité p, 0 avec probabilité q=1-p). L’importance de ce schéma réside dans ses applications comme modèle de répétition des expériences et dans le fait qu’il conduit aux deux théorèmes fondamentaux du calcul des probabilités : la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Abstract Already Renyi discovered that the Galton board does not represent an adequate model for the Bernoulli distribution (p=q=1/2). When a ball falling through the board is distracted by a nail, a horizontal component of velocity is added which influences its behaviour when striking the next (deeper) nail, i.e. equal probabilities for all occurrences (p=q=1/2) which are supposed for Bernoulli distributions are not guaranteed. Here the following hypotheses is tested: At the first obstacle the ball is distracted to the left or to the right with equal probability p=q=1/2. At the next obstacles the ball behaves as follows: If it comes from the right (left) side, it will be distracted to the left (right) with a probability q=1-p. By means of the characteristical function of S(n)=x(1)+…+x(n) (x(n) stochastic variables) it is shown that (S(n)-n/2) n is asymptotic normally distributed with a variance p/4q. If p is large enough, a bell-shaped curve results from the Galton board, which is much flatter compared with p=q=1/2. (ZDM/Mathdi) Zusammenfassung Schon Renyi bemerkte, dass das Galton-Brett kein hinreichendes Modell fuer die Bernoulliverteilung (p=q=1/2) darstellt. Denn wird eine Kugel beim Fall durch das Brett von einem Nagel abgelenkt, erhaelt sie eine horizontale Geschwindigkeitskomponente, die ihr Verhalten beim Aufprall auf dem naechsten (tieferen) Nagel beeinflusst; d.h. die bei der Bernoulliverteilung vorausgesetzten gleichen Wahrscheinlichkeiten fuer alle Ereignisse (p=q=1/2) sind nicht gewaehrleistet. Hier wird folgende Hypothese ueberprueft: Beim ersten Hindernis wird die Kugel mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p=q=1/2 nach rechts oder links abgelenkt. Bei den naechsten Hindernissen verhaelt sich die Kugel folgendermassen: Kommt sie von rechts (links), wird sie mit der Wahrscheinlichkeit p>1/2 nach links (rechts), mit der Wahrscheinlichkeit q=1-p nach rechts (links) abgelenkt. Mit Hilfe der charakteristischen Funktion von S(n)=x(1)+…+x(n) (x(n) Zufallsvariablen) wird gezeigt, dass (S(n)-n/2)/ n asymptotisch normalverteilt ist mit der Varianz p/4q. Ist p genuegend gross, ergibt sich also beim Galton-Brett eine Glockenkurve, die im Verhaeltnis zum Fall p=q=1/2 wesentlich flacher ausfaellt. (ZDM/Mathdi)
Notes
Cet article est publié sous la rubrique « Echanges ».
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Il paraît 5 fois par an de sa création à 2018, année où suite à un changement de politique éditoriale, l’APMEP publie une revue unique Au Fil des Maths – le Bullletin de l’APMEP.
Données de publication
Éditeur Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public (APMEP) Paris , 1981 Format A5, p. 435-441
ISSN 0240-5709
Public visé chercheur, enseignant, formateur
Type article de périodique ou revue Langue français Support papier
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