Constatant que : « l’enseignement dans le secondaire se fait fondamentalement par la médiation d’un langage (oral ou écrit) », l’auteur en vient à penser que l’enseignement aura « quelque efficacité que dans la mesure où le langage utilisé constituera pour les élèves non plus un handicap mais un véritable instrument ». En ce qui concerne plus particulièrement l’enseignement des mathématiques, une certaine maîtrise du langage mathématique semble donc un objectif assez prioritaire, et prérequis pour toute activité qui veuille éviter de devenir un « comportement de perroquet »… Plus précisément encore, …, le premier cycle paraît être l’intervalle intermédiaire et crucial où doit s’effectuer le fameux « saut dans l’abstraction ». Pour un professeur de mathématique, cela se manifeste par la possibilité qui lui est (enfin) accordée de faire des démonstrations et … de tenter d’en faire faire. » A partir de ce constat, l’auteur procède à un certain nombre de réflexions portant sur la démonstration, son apprentissage, l’équivalence logique qu’il appelle « synonymie ». Dans une partie annexe, il présente le schéma d’une dynamique déductive mettant en jeu non pas un déroulement linéaire des hypothèses vers la conclusion, mais plutôt un double mouvement, la prise en compte d’une cible introduisant un « feed-back » qui intervient au niveau A – de la traduction de la conclusion en une cible qui oriente vers la méthode B – du choix des synonymies pour la traduction des hypothèses C – du choix des théorèmes destinés à réduire l’écart entre point A et point B. Pour illustrer cette dynamique, l’auteur donne deux exemples, l’un en algèbre (la somme de deux multiples de a est un multiple de a), l’autre en géométrie (le théorème des milieux d’un triangle ABC).