L’auteur construit son argumentation à partir de trois exemples « de type idéal » (« construction de l’esprit qui accuse les caractères les plus importants d’une situation réelle ») ensuite nuancés :
– le « schéma de TREFFERS », relatif à quatre modes d’enseignement des maths : mécaniste, empiriste, structuraliste, réaliste.
– le « triex » : explorer, extraire, expliquer, étudié sur deux situations-problèmes de géométrie niveau collège
– le tamdem « illlustration-application » : « une illustration d’une théorie est une situation difficile que la théorie aide à comprendre ». Trois exemples, dont un sur la relation de Chasles vectorielle et un à propos d’une équation de droite (qui vaut le détour !), pour illustrer-appliquer.

N. Rouche plaide alors pour une appropriation des mathématiques par une reconstruction personnelle permettant, à travers des situations-problèmes, d’aller « du savoir de l’élève au savoir mathématique bien intégré dans la personnalité intellectuelle de l’élève ». Il propose, également, de vérifier les situations-problèmes par une « distanciation » qui les éclaire d’un jour nouveau (comme Brecht le souhaite pour le théâtre).