Le grand théorème de Poncelet peut ainsi s’énoncer : étant donnée une paire de coniques, s’il existe un polygone à n côtés inscrit dans l’une et circonscrit à l’autre, il en existe une infinité. L’existence se traduit par une relation métrique entre les paramètres qui définissent les deux coniques.
Dans cet article, l’auteur étudie élémentairement les cas où les coniques sont des cercles et où le polygone est un triangle ou un quadrilatère. Si R et r sont les rayons des cercles, d la distance des centres, la relation est :
– pour les triangles, valeur absolue de (r²-d²)=2Rr,
– pour les quadrilatères, [2r²(R²-d²)-(R²-d²)²](R-d)=0
Dans le cas des quadrilatères, on exhibe une projection conique dans l’espace affine à trois dimensions, qui échange une paire de cercles satisfaisant à la relation d’interscription, et la paire constituée d’une ellipse et de son cercle orthoptique.
Cette idée de projection conique s’applique à une paire de cercles intérieurs et à une paire d’ellipses coaxiales. Les rapports R/r et d/R s’expriment simplement en fonction de alpha=a’/a et beta=b’/b (a, b, a’ et b’ sont les longueurs des demi-axes des deux ellipses). La condition d’inscription dans une paire d’ellipses coaxiales est – pour un triangle, alph a+ ou – beta =1
– pour un quadrilatère alpha au carré + ou – beta =1
et quand cette dernière condition est satisfaite, tous les quadrilatères interscrits sont des parallélogrammes. Dans le cas particulier d’ellipses homofocales, la condition d’inscription devient a²/b²=a’/b’ tous les parallélogrammes interscrits ont même périmètre et ces périmètres sont des trajectoires de billard.