Emile Blutel a été le premier président de l’A.P.M.E.S.P. (Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement secondaire public, devenue APMEP en 1945). Il l’a été seulement pour le temps de l’assemblée générale constituante de l’association, le 30 octobre 1910. En effet, ayant rejoint l’Inspection générale à la rentrée 1911, il démissionne de la présidence et devient membre d’honneur de l’association.
A cette époque, l’enseignement de l’arithmétique pose problème. Dans le compte rendu de l’Assemblée générale de 1921, on lit « On a le regret de constater que l’Arithmétique théorique est très mal sue : il serait intéressant de discuter sur la place à lui donner dans les programmes ». C’est ce qui a motivé Emile Blutel pour écrire un article paru dans la revue en 1923 et édité en brochure en 1925.
Dans le préambule, E. Blutel fait état de la réforme en cours qui « astreint tous les élèves aux mêmes études scientifiques jusqu’à la fin de la classe de Première ». Il parle des problèmes d’orientation des élèves, et de l’échec scolaire – même s’il n’utilise pas ce vocable- des contraintes des horaires et des programmes ainsi que des exigences des examens.
Puis, il explique la nécessité de la démonstration. Il « montre le danger de tuer la curiosité en apportant des règles prématurées » et il donne des exemples de dialogues avec la classe. Il craint l’intervention des parents ignorants des nouvelles méthodes d’enseignement.
Pour introduire la notion de nombre et les opérations, il préconise l’appel au concret. « Assez longtemps pour que la règle apparaisse comme la traduction d’un état d’esprit ». Les propriétés des opérations sont présentées en faisant appel à des collections d’objets, puis aux nombres « figurés » (par des lettres).
La notion concrète de fraction doit s’appuyer sur les grandeurs dites mesurables. Il souligne les difficultés rencontrées, en particulier pour les « comparaisons ». Il introduit la notion de « fraction abstraite », note l’ambiguïté du mot « mesure » et la possibilité d’égalité de fractions n’ayant pas le même dénominateur. Il fait alors appel à la proportionnalité. Le passage à la géométrie et aux angles est source d’écueils.
Il fait allusion aux difficultés que suscite l’emploi de la règle de trois.
Il préconise la pratique du calcul mental.
Sa conclusion est « qu’il faut constamment se reporter aux origines, à la vision directe de la matière pour laquelle a été créé l’instrument, car ce sont les propriétés de cette matière qui ont conditionné l’outil. Inversement, chaque fois qu’on en trouvera l’occasion, il faudra chercher à découvrir une propriété concrète sous une abstraction ».

En complément, voici le sommaire de la brochure :
1. A la recherche d’une méthode
2. De la collection au nombre entier
3. De la grandeur au nombre