Ce court article est consacré à des études combinatoires dans F_q, un corps de caractéristique p, de cardinal q=p^f. Plus précisément, pour x appartenant à F_q, et k de N*, on cherche à calculer le nombre N_k (de façons d’écrire x comme somme (ordonnée) de k carrés :
N_k(x)=card{(x₁, … , x_k) élément de F^k_q, x²₁ + . + x²_k=x}.
En particulier, N₁(x) est le nombre de façons d’écrire x comme carré, c’est-à-dire le nombre de racines carrées de x dans F_q, N₂(x) est le nombre de façons d’écrire x comme somme ordonnée de deux carrés dans F_q.
La première section est consacrée au cas très particulier de la caractéristique p = 2. Pour traiter le cas d’une caractéristique p impaire, on sépare le cas des fonctions N₁ et N₂ (ce dernier cas requiert des calculs plus sophistiqués sur les caractères du groupe additif F_q), puis l’on donne une formule générale pour toutes les fonctions N_k à l’aide d’une relation de récurrence.