La recherche de l’ellipse d’aire maximale inscrite dans un polygone convexe est étudiée par Steiner au XIXe siècle dans le cas d’un triangle. Il a établi des propriétés élémentaires sur l’ellipse portant son nom, comme étant, comme étant la seule inscrite dans un triangle, tangente aux côtés de ce triangle en leur milieu.
Pour les triangles et les parallélogramme, l’idée repose principalement sur l’utilisation des applications affines, laissant le rapport des aires invariant. Une caractérisation précise de l’ellipse d’aire maximale inscrite est donnée par le théorème de Marden dans le cas du triangle.
Dans cet article, les auteurs présentent leur contribution au prix Fermat Junior 2013, ils étendent dans un premier temps la propriété des triangles aux parallélogrammes avec un résultat similaire. Pour un quadrilatère quelconque, le résultat ne se généralise malheureusement pas. Ils optent donc pour une méthode plus calculatoire. L’extension pour un polygone ayant au moins 5 côtés est basée sur le théorème de Brianchon.