Quadrature. N° 97. p. 17-25. Sur l’accélération de la convergence de la « série de Madhava-Leibniz ».

English Title : On the acceleration of the convergence of the Madhava-Leibniz series.

Auteur : Pouvreau David
Autre nom d’auteur : Pouvreau-Séjourné David

Résumé

Cet article présente des résultats très novateurs obtenus entre le milieu du XIVe siècle et le début du XVIe siècle par des astronomes indiens de l’école dite « de Madhava ». Ces résultats, qui s’inscrivent dans le cadre de recherches trigonométriques, concernent la rectification du huitième de circonférence d’un cercle. Ils exposent non seulement un analogue du développement en série de arctan, en général connu sous le nom de « série de Leibniz », mais aussi d’autres analogues de développements en série dont la convergence est beaucoup plus rapide. Ces développements sont dérivés d’évaluations des restes des sommes partielles de la série initiale au moyen de réduites de fractions continues généralisées. Une justification en termes modernes en est fournie, qui vise à en restituer tout l’intérêt mathématique.

Abstract

This paper expounds very innovative results achieved between the mid-14th century and the beginning of the 16th century by Indian astronomers belonging to the so-called « Madhava school ». These results were in keeping with researches in trigonometry: they concern the calculation of the eight of the circumference of a circle. They not only expose an analog of the series expansion of arctan(1) usually known as the « Leibniz series », but also other analogs of series expansions, the convergence of which is much faster. These series expansions are derived from evaluations of the rests of the partial sums of the primordial series, by means of some convergents of generalized continued fractions. A justification of these results in modern terms is provided, which aims at restoring their full mathematical interest.

Notes

Quadrature est un magazine de mathématiques pures et appliquées. Il s’adresse aux enseignants, étudiants, ingénieurs et amateurs de mathématiques.
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Une version texte intégral est en téléchargement sur le site https://hal.science/hal-03186128

Données de publication

Éditeur Quadrature Revigny-sur-Ornain , 2015 Format A4, p. 17-25 Index Bibliogr. p. 25-25
ISSN 1142-2785

Public visé élève ou étudiant, enseignant, tout public Niveau licence Âge 18, 19, 20

Type article de périodique ou revue, vulgarisation, popularisation Langue français Support papier