Es fácil constatar que ciertos errores de los alumnos son extremadamente tenaces y resisten a los esfuerzos de explicación y de demostración de los profesores. Todo ocurre como si, desde el punto de vista de los alumnos, un conocimiento matemático correcto pudiera, de manera más o menos arbitraria, ser reemplazado por cualquier otro, sin que esto ponga en juego la solidez del edificio matemático. Mostramos aquí qué interés puede tener el hacer « descubrir » a estos alumnos el carácter necesario de los enunciados matemáticos. Este « descubrimiento » se hará a través de lo que describiremos como la « experiencia vivida » por los alumnos.
Las observaciones hechas al respecto – tanto en el liceo como en el inicio de la universidad -, nos han conducido a utilizar y enriquecer un modelo, el de « los tres órdenes de conocimiento ».
Elaboramos un dispositivo experimental que ofrece a los alumnos la posibilidad de experimentar la necesidad de los enunciados matemáticos y al profesor la ocasión de institucionalizar conocimientos de los diferentes órdenes.
El método de observación dirige la mirada hacia lo vivido por el sujeto y hacia lo que él puede decir de su experiencia como sujeto haciendo matemáticas.