Cet article présente le travail de thèse de l’auteur qui entre dans une perspective de recherche à propos des connaissances mathématiques de l’élève dans l’enseignement des critères de divisibilité ; Christine Del Notaro cherche à comprendre quelle est la part de l’expérience qu’il peut se construire à propos du monde des nombres et comment on peut tenter de convoquer cette expérience lors d’une interaction entre expérimentateur et élève. A travers l’étude du fonctionnement du milieu, elle tente de cerner comment s’organisent les différents milieux de la tâche, d’en analyser les réponses et d’examiner en outre les moyens de faire vivre un savoir. Pour travailler ces questions, elle a utilisé les informations recueillies lors d’observations directes dans les classes dans le but de construire une suite de situations expérimentales. Dans cette optique, elle s’inspire des travaux de Bloch (1999 & 2002), qui se situent dans une perspective de « recherche d’une dialectique scientifique entre analyse théorique et contingence ». Elle se sert de sa modélisation pour décrire les trois pôles qu’elle souhaite faire se répondre, à savoir la théorie, l’expérimentation et la contingence. Les travaux de Conne (1992) guident ses propres réflexions théoriques, notamment ses écrits sur Savoir et Connaissance, ainsi que les travaux de l’équipe DDMES (2003) sur l’investigation du milieu et le jeu de tâches (Favre, 2008). A partir de quelques observations d’une même leçon sur les critères de divisibilité par 4 dans des classes dites ordinaires, elle a mis en évidence un phénomène didactique nommé saturation du milieu : professeurs et élèves sont submergés par un afflux de connaissances dans le milieu qu’ils ne parviennent pas à synthétiser. Le professeur, pour reprendre le contrôle de la situation, et pour couper court à cette abondance d’informations, valide à la place des élèves et recourt à l’institutionnalisation. On observe dans sa gestion qu’il filtre les affirmations des élèves pour ne retenir que celles axées sur un état et non pas sur un processus, afin d’aboutir plus rapidement à une conclusion.