Cet ouvrage présente un état de l’art de la recherche en didactique sur l’enseignement et l’apprentissage de l’algèbre linéaire en première année d’université, en se plaçant dans une perspective internationale. Sa vocation est de fournir aux enseignants d’algèbre linéaire un ensemble d’informations issues d’analyses scientifiques menées sur la base d’expérimentations contrôlées. Ces informations visent à mieux cerner les enjeux, les contraintes et les difficultés de cet enseignement, et présentent certaines alternatives et leurs effets, sans donner de réponse définitive sur ce qu’il faut ou ne faut pas faire. Ce livre s’adresse aussi aux didacticiens des mathématiques non spécialisés dans les questions d’algèbre linéaire. Ils pourront y trouver des réflexions sur les questions d’expérimentation et d’évaluation d’ingénieries longues, sur l’utilisation d’outils de didactique dans un contexte d’enseignement supérieur, sur l’articulation de la réflexion épistémologique entre des recherches historiques et didactiques, etc.
L’ouvrage est divisé en deux parties :

– La première partie présente une analyse épistémologique de la genèse historique des concepts élémentaires d’algèbre linéaire sur une période s’étendant du 17e au milieu du 20e siècle. Jean-Luc Dorier montre la longueur et la sinuosité du processus qui amène, à la fin du 19e, au concept d’espace vectoriel, représentant l’essence de la linéarité (par exemple par Peano). Il insiste sur la nature unificatrice et généralisatrice de cette théorie, qui a suivi et non précédé de nombreuses résolutions de problèmes, particulières, dans des domaines variés. Les notions liées aux systèmes linéaires et à la notion de rang sont notamment très importantes, même si d’autres avancées sont liées à l’étude de la géométrie. Il dégage des questions liées à l’axiomatisation – et sans doute aux difficultés des étudiants, en termes de réorganisation du savoir et de la manière d’appréhender les problèmes. Remplacer une fonction par un seul élément d’un espace vectoriel n’est pas immédiat pour ne prendre que cet exemple…

– La deuxième partie est consacrée aux questions didactiques à part entière. Les quatre premiers chapitres présentent les travaux, qui s’articulent autour d’un enseignement expérimenté depuis une dizaine d’années à Lille. Les trois chapitres suivants présentent des travaux des USA ou du Canada. Le dernier chapitre enfin présente quatre travaux plus récents qui ouvrent des perspectives nouvelles de recherche.
Nous détaillons un peu plus les 4 premiers chapitres adaptés à l’enseignement universitaire français. Parmi les difficultés récurrentes des étudiants, les auteurs (Jean-Luc Dorier, Aline Robert, Jacqueline Robinet et Marc Rogalski) se basent sur des questionnaires proposés aux étudiants pour dégager, en bonne place, l’obstacle du formalisme, annoncé dans la partie historique (cf. axiomatisation). Cet obstacle est sans doute renforcé par le manque de connaissances des étudiants en logique et théorie des ensembles. L’existence de niveaux de conceptualisation successifs (cf. Aline Robert) éclaire ces difficultés en précisant des organisations du savoir qui se remplacent partiellement mais implicitement au fur et à mesure des études. Marc Rogalski présente ensuite une véritable ingénierie complète pour installer les débuts de l’algèbre linéaire en L1, justifiée à la fois par les éléments historiques et cognitifs précédents et par les hypothèses admises sur les apprentissages de ce type de notions, qui sont rapidement exposées. Parmi elles, les 4 auteurs déjà cités reprennent dans le chapitre suivant l’importance qu’ils accordent au levier « méta » (commentaires), notamment dans le cas où on ne peut pas trouver de suffisamment « bonne » situation de démarrage.
Les chapitres suivants montrent à la fois des difficultés récurrentes chez tous les étudiants, même si elles ne sont pas étudiées de la même façon, et des choix un peu différents selon les systèmes scolaires. Un des choix important tient à l’ordre dans lequel on étudie les notions (démarrage par les matrices, par la géométrie, par des exemples) et en particulier à la place qu’on donne aux espaces de dimension 2, 3 et n.