Dans cet article, l’auteur propose aux enseignants de mathématiques de lycée qui ont quelques souvenirs sur les groupes (il les aide à s’en rappeler) et ont commencé à s’intéresser à Python, une récréation amusante sur les groupes. Il s’agit d’écrire un programme capable de générer tous les groupes finis à isomorphisme près.
La structure d’un groupe G est contenue dans sa table de Pythagore. Si on numérote les éléments d’un groupe fini G d’ordre n, la table s’identifie à une matrice carrée d’ordre n à coefficients dans {1 ; … ; n}. Une étude rapide montre que dans une telle matrice, chaque ligne et chaque colonne est une permutation de (1;… ;n). Une telle matrice est appelée sudoku (dans cet article). Il est facile d’écrire un programme Python générant tous les sudokus d’un ordre donné, mais attention : un sudoku quelconque ne définit pas forcément un groupe. En revanche, si la loi interne définie par un sudoku est associative, alors on a affaire à un groupe. Tester une matrice pour savoir si elle est associative est facile avec Python. Nous proposons ici un programme capable de trouver tous les sudokus associatifs d’ordre inférieur ou égal à 6. Au delà de 6, les calculs prennent trop de temps. Ce programme fait ensuite un tri : on ne garde qu’un groupe par classe d’isomorphisme. Au final, on se retrouve avec la liste complète des groupes d’ordre inférieur ou égal à 6, à isomorphismes près.