Longtemps il y a eu une seule géométrie, euclidienne, qui modélise commodément le monde plat d’une simple feuille de papier. Sont apparues ensuite des géométries non euclidiennes, qui s’affranchissent du cinquième postulat d’Euclide. Ces géométries modélisent un univers différent. Dans la version 4.3 de CaRMetal on a implémenté des commandes de tortue dynamique hyperbolique (pour le disque de Poincaré). Ces commandes permettent de développer un regard nouveau sur la géométrie hyperbolique et facilitent la construction de pavages hyperboliques dynamiques. Dans cet article, les auteurs proposent de parcourir le disque de Poincaré à l’aide d’une tortue dynamique, c’est un moyen simple de se familiariser avec sa géométrie et de se l’approprier. L’article se compose de sept sections dont les deux suivantes « À la découverte du disque de Poincaré » et « Construction de pavages hyperboliques » qui sont, de leurs côtés, partagées de sous-sections enrichies par des procédures et des scripts et les constructions où ils ont mené.