Cette thèse mêle des probabilités, de l’arithmétique et des systèmes dynamiques (odomètre) et vise à comprendre comment varie la somme des chiffres pendant une addition dans un système de numération fixé (base entière ou représentation de Zeckendorf).
Son sujet vise à mieux comprendre les propriétés de la mesure de probabilité associée aux densités asymptotiques d’ensembles définis par la fonction somme des chiffres en base entière et non entière. Plus précisément, si on se donne un entier ‘r’, on s’intéresse aux ensembles d’entiers ‘n’ tels que la différence entre la somme des chiffres de ‘n’ et de ‘n + r’ est un entier relatif ‘d’ fixé. La densité asymptotique ‘mu^{(r)}(d)’ de ces ensembles peut être interprétée comme une mesure de probabilité sur les entiers. Évidemment, elle dépend du système de numération considéré. Dans cette thèse, nous établissons des propriétés de la mesure de probabilité ‘mu^{(r)}’, en base entière et en représentation de Zeckendorf. Pour cela, nous faisons le lien entre ces propriétés et certains systèmes dynamiques sous-jacents. En base entière, nos montrons notamment un théorème central limite. Nous généralisons certaines propriétés de ‘mu^{(r)}’ en représentation de Zeckendorf et proposons un algorithme de calcul de ‘mu^{(r)}’.