L’introduction annonce d’emblée la couleur : « Ceci est une intervention politique, contre l’enseignement et pour l’instruction, contre la didactique et l’épistémologie quand elles se dévoient. Contre l’urgence que l’idéologie des inclus pose d’avoir à éduquer, à éduquer à la citoyenneté, je pose la primauté du souci d’instruire, de former des individus faiseurs d’actes (plutôt que des connaisseurs) ».
« Instruire » de quoi ? « L’acte mathématique pur existe, et c’est cela, cette manière très spéciale de penser, dont il faut instruire… »… « instruire dans la nature de l’activité mathématique elle-même qui, alliant en acte le paradoxal de la rigueur et l’ambiguïté, tient à une certaine pulsation, une certaine capacité à jouer sans fin dans l’évidence toujours entre le sens et le non-sens, en posant radicalement et laissant pourtant éventuellement modifiable ce qui est posé ».
Voilà déjà les mots-clés qui innervent un ouvrage passionné ; instruire, pulsation, rigueur, évidence… : « Dans le champ de la pratique des mathématiques, la pulsation […] devient le centre même de la capacité de cette activité, la manière spécifique suivant laquelle la pensée mathématique se risque, et là je l’appelle la pulsation mathématique… ».
Quant à la rigueur, il s’agit ici du « sentiment du tombé-pile d’une écriture sur une intuition  » qui refuse  » le diktat glacial d’une obligation artificielle » … tandis que « l’évidence, ce n’est pas quand il n’y a pas de doute, mais quand la question même du doute a disparu, s’est résorbée intégralement ».
Surtout, injonction souvent répétée : pour saisir la pulsation mathématique, il s’agit « de s’y mettre »…

Le livre est organisé en 101 séquences qui entrecroisent les fils des prises de position « politiques » (cf. début de ce texte) et les activités mathématiques. Un même thème se précise parfois en chaîne discontinue. Ainsi le cercle fait notamment l’objet des séquences 1, 33 à 40, 71 à 75, 78.
Voici les titres des premières séquences :
00. But : impertinence du sens.
01. Enjeu : droite versus cercle.
02. Positions : depuis la pratique mathématique.
03. Faire de la bicyclette est paradoxal.
04. Double définition de la limite.
05. Force de l’esprit et discipline : s’y mettre.
06. Le professeur est un instructeur.
07. La violence.

Les séquences 59 à 62 mettent en place un « calcul K », « trace d’écarts et de mouvements », conduisant à des groupes abéliens… et à des résultats … surprenants (0/0=1 ; A.1=A.0 ; A+0=A+1…) alors qu’il va se révéler que « le calcul ordinaire se constitue d’une brisure de symétrie du calcul K »… l’étude conjuguée des diverses définitions d’une limite (de fonction), d’une tangente à une courbe, qui se concluent par « définir est agencer une glissade »…
Il y a bien d’autres thèmes développés : utilisation des lettres, égalités et équivalences, nombres et figures, traitement mathématique des paradoxes, pulsation entre montrer et démontrer, « pulsation de la pulsation », fractions et proportions…
Des méthodes sont réhabilitées, ainsi celle – de Desargues et Monge notamment – « qui considère les figures planes comme des traces ou des projections de figures spatiales » (« Il y a là une dualité pulsative importante entre l’idée de « trace sur »et l’idée de »projection sur » « ) : deux problèmes sont traités « à la Monge » concurremment à d’autres méthodes.

Sur son chemin, René Guitart rencontre divers intervenants… Il se méfie d’une épistémologie et d’une histoire des maths qui seraient « dévoyées ». Il râle contre les programmes détaillés qui ôtent toute liberté.
Surtout René Guitart secoue didactique et didacticiens. Il apprécie, certes, la théorie des situations didactiques, les débats scientifiques, les champs de concepts et ceux de problèmes. Ainsi les jeux de cadres, avec « l’idée de pulsation pour ajouter deux choses :
– pouvoir envisager d’aller (« en faisant ») du cadre connu vers un cadre inconnu,
– pouvoir envisager toutes opérations à l’intérieur d’un cadre donné sans avoir à répondre d’une orthodoxie liée au cadre ». Mais, pour quelques lignes d’approbation, sur les points cités, combien de pages de véhémentes attaques sur d’autres ! Notamment, et il s’en justifie, René Guitart ne peut pas souffrir la « transposition didactique »… De même, les tendances supposées de l’enseignement actuel, soupçonné de relever d’une « idéologie médiocratique », sont-elles vilipendées, d’autant que, ajoute l’auteur, « on a l’impression que l’équation conceptuel = élitiste = réactionnaire est largement acceptée et donc véhiculée par les médias ». René Guitart appelle, entre autres, à l’appui de ses thèses, un texte de Chasles qui déplore, déjà, l’abandon de l’instruction telle que la concevait la première moitié du XIXe siècle. (Mais le retour à une « instruction » pure et dure est-il vraiment le remède aux maux actuels ?)
Pourtant, précisément, par delà les jugements accusateurs et tranchants, ce que propose René Guitart rejoint des objectifs fondamentaux de nombre de ceux qui appellent des vents nouveaux… En effet, il n’est pas de plus belle école de liberté, de responsabilité, de plaisir que celle à laquelle « La pulsation mathématique » nous convie. De quoi redire, avec Teilhard de Chardin, « Tout ce qui monte converge ! »…
Certes, dit-il, « personne ne trouve passionnantes la géométrie ou l’algèbre tant qu’elles sont infra-élémentaires » (encore que…, en géométrie notamment, …). « L’intérêt, et la passion, naissent de l’épreuve renouvelée de la richesse de ce qui peut, de ce que chacun, peut développer ». Pourquoi ne pas envisager, dès lors, des rénovations fondamentales où des technologies modernes seraient au service de « la pulsation mathématique » ?