Partant des débuts du calcul des probabilités, ce traité présente à la fois les outils théoriques, les méthodes pratiques et les modèles qu’ont développés les probabilistes depuis la seconde moitié du XXe siècle en particulier à la demande des physiciens.
1. Hasard et contingences (Modélisation, axiomatisation de Kolmogorov).
2. Variables aléatoires (Fonction caractéristique, Vecteurs gaussiens, Espérance conditionnelle).
3. Martingales (Temps d’arrêt, Décomposition, Inégalités et Convergences).
4. Chaines de Markov (Transience et récurrence, Marches aléatoires, Théorie du potentiel).
5. Entropie et applications ergodiques (Systèmes dynamiques, Grandes déviations, Information et entropie).
6. Thermodynamique statistique (Gaz parfait, fermions et bosons, corps noir).
7. Phénomènes critiques (Transitions de phase, exposants critiques, modèles d’Ising, renormalisation, verres de spin, percolation).
8. Simulation et algorithmes stochastiques (Monte-Carlo, transport de particules, optimisation stochastique).
9. Processus aléatoires (de Markov, ponctuels, de Poisson, de Lévy, du second ordre).
10. Files d’attente (G/G/1, G/M/1, M/G/1, M/M/s).
11. Mouvement brownien (Régularité des trajectoires, propriété de Markov, M.B. fractionnaire).
12. Intégrale stochastique (Intégrale et formule d’Itô, Théorème de Girsanov).
13. Équations différentielles stochastiques (Équation de Langevin, processus de diffusion, bruit blanc, Feynman-Kac, Focker- Planck).
14. Schémas numériques et stabilité (Euler, Milstein, Heun, Runge-Kutta, Platen, exposants de Liapounov).
15. Équations aux dérivées partielles (Elliptiques, paraboliques, de Korteweg-de Vries, de Burgers).
16. Vibrations aléatoires (Oscillateur harmonique, analyse modale, moyennisation stochastique).
17. Prédiction et filtrage (Kalman-Bucy, processus ARMA).
18. Calcul de Malliavin (Chaos de Wiener, produits de Wick, dérivée de Malliavin, intégrale de Skorohod).
19. Probabilités quantiques (Entropies quantiques, C*-algèbres, algèbres de Von- Neumann, Espaces de Fock, calcul stochastique quantique, équation de Caldeira- Legget).
20. Probabilités libres (Liberté et indépendance, transformée de Cauchy, convolution libre, lois indéfiniment divisibles et lois stables, formule d’Itô libre).
21. Matrices aléatoires (Ensembles gaussiens, fonction zeta de Riemann, comportement des valeurs propres, gaz de Coulomb, intégrales matricielles).

Les résultats fondamentaux de la théorie de la mesure et de l’intégration sont rappelés en Annexe .
Une autre Annexe présente la solution détaillée de la centaine d’exercices proposés à la fin des chapitres.