Les formules explicites de calcul par radicaux des racines d’une équation du troisième ou du quatrième degré ont été découvertes progressivement tout au long du XVI° siècle par l’étude successive des différents cas de signes des coefficients, le dernier nécessitant le passage par des nombres complexes. On cite à ce propos Tartaglia, Cardan et Bombelli sans connaître toujours ce qu’il convient d’attribuer à chacun, ni l’âpreté des compétitions dans lesquelles ils se sont affrontés, ni le rôle joué par les mathématiciens qui les entouraient.

Cet ouvrage relate cette histoire connue dont les protagonistes ont entretenu une abondante correspondance (qui a été conservée), et ont publié leur version des faits.
En voici le plan :
1) Le maître d’Abaque. (Niccolo Tartaglia grièvement blessé en février 1512 dans le sac de Brescia en restera bègue, d’où son surnom sous lequel il passera à la postérité. Leonardo Fibonacci, premier maître d’abaque de l’Histoire a publié en 1202 son Liber abaci, qui a fait de lui le mathématicien le plus important d’occident ; Tartaglia, maître d’abaque à son tour, se fait connaître en dialoguant avec de nombreux experts ou curieux et en lançant et remportant des défis).
2) La règle de la chose. (Tablettes mésopotamiennes, papyrus, Diophante, Al-Khwarizmi, classification et solutions géométriques des équations cubiques).
3) La dispute vénitienne. (Tartaglia, professeur de mathématiques à Venise en 1534, est défié par Antonio Maria Fior, maître d’abaque réputé, qui se révèle incapable de résoudre toutes les questions posées, puis, jusqu’en 1537, par maître Zuanne de Tonini da Coi, médiocre mathématicien).
4) Une invitation à Milan. (Enfance et adolescence de Jérôme Cardan ; ses études à Padoue où il obtient son doctorat en médecine en 1526. Une dizaine d’années plus tard, par l’intermédiaire de maître Zuanne, il rentre en contact avec Tartaglia. Celui-ci est très réticent pour lui confier ses résultats. Finalement Cardan les obtient, sous le sceau du secret, d’où le titre du livre, sous la forme d’une poésie algébrique dont le texte figure deux fois dans l’ouvrage, la première, seul, et la seconde, accompagné de l’écriture algébrique de l’algorithme).
5) Le carnet du vieux Bolonais. (Durant l’an 1539, échange de lettres d’abord chaleureuses puis de plus en plus agressives entre Tartaglia et Cardan sur la résolution de l’équation x^3+bx=c, avec b>0 et c>0) Tartaglia accuse Cardan de ne pas tenir son serment).
6) Le dernier duel (Cardan publie en 1545 l’Ars Magna, améliore avec son élève Ludovico Ferrari la résolution des équations du troisième et du quatrième degré mais se heurte au cas irréductible qui sera résolu par Bombelli en 1572 en introduisant des nombres complexes. En 1546, Tartaglia publie Quesiti et inventioni diverse et se déchaine contre la « bassesse morale » de Cardan ; celui-ci laisse à Ferrari le soin de répliquer. En résulte une longue suite de lettres ouvertes, d’opuscules, de cartels et de défis qui aboutissent en 1548 à un débat dont Cardan sort vainqueur).

L’auteur donne une bonne centaine de références bibliographiques.
Chaque chapitre comporte une soixantaine de notes reportées en fin de volume.