Cet ouvrage se concentre sur le devenir d’un argument majeur en philosophie des mathématiques : le platonisme, ou réalisme mathématique, soit la thèse selon laquelle les assertions mathématiques parlent d’un domaine d’objets abstraits, qu’elles décrivent. Cette thèse n’est pas considérée du point de vue métaphysique traditionnel, mais d’un point de vue épistémologique.
La première partie du livre suit l’histoire du platonisme mathématique, des origines à Gödel (1930) ; la seconde partie est consacrée aux discussions suscitées par un dilemme formulé en 1973 par Paul Benacerraf, et considéré comme une critique majeure adressée au platonisme ; la dernière partie examine sa meilleure défense aux yeux de nombreux contemporains, qui prend la forme d’un argument, lui aussi fort discuté aujourd’hui, celui d’indispensabilité.

Sommaire :

* Origines, de Platon à Kant
– Platon platoniste ? Aristote entre platonisme et antiplatonisme
– Proclus : l’interprétation néoplatonicienne de la théorie d’Euclide

* Accomplissement, le platonisme logiciste de Frege
– L’évolution de l’analyse entre le XVIIIIe et le XIXe siècle : le contexte historique du programme de Frege
– Le système formel de Frege
– Les définitions des nombres naturels

* Crises, de Russel à Gödel en passant par Hilbert
– Russell et la séparation du platonisme et du logicisme
– La théorie des ensembles
– Le problème des fondements

* Dilemme les deux arguments de Benacerraf
– Ce que les nombres naturels ne peuvent pas être
– Le dilemme de Benacerraf
– Géographie des réponses au dilemme de Benacerraf et solutions contemporaines du problème de Platon

* Réponses 1 réponses non conservatives
– Le nominalisme de Field : mathématiques sans vérité et science sans nombres
– Les mathématiques comme fictions : Field et Yablo
– Le structuralisme éliminativiste et sa version modale