cercles de Miquel

cercles de Miguel

GEOMETRIE

Le mathématicien français Auguste Miquel a démontré (au milieu du 19e siècle) plusieurs théorèmes concernant les courbes, les cercles et les polygones, publiés pour la plupart dans le Journal de Liouville . Plusieurs de ses articles ont été numérisés sur le site Gallica de la BNF http://gallica.bnf.fr/
Plusieurs énoncés portent son nom.

Théorème des trois cercles : Soient trois cercles (C1), (C2), (C3) se rencontrant en un point O, on appelle M, N et P les autres points d’intersection des cercles (C1) et (C2), (C2) et (C3), (C3) et (C1). Soit A un point de (C1) tel que la droite (MA) recoupe (C2) en B et la droite (PA) recoupe (C3) en C. le théorème de Miquel affirme alors que les points B, N et C sont alignés.
Réciproque : si ABC est un triangle, et si M, N et P sont trois points situés respectivement sur (AB), (BC) et (CA) alors les cercles circonscrits aux triangles (AMP), (BMN) et (CNP) se rencontrent en un point O, appelé point de Miquel du triangle.

Théorème du quadrilatère complet : Si ABCDEF est un quadrilatère complet alors les cercles circonscrits aux triangles (EAD), (EBC), (FAB) et (FDC) sont concourants en un point O appelé point de Miquel du quadrilatère.
Les centres des quatre cercles et le point de Miquel sont cocycliques, le cercle contenant ces cinq points est le cercle de Miquel.
Démontré en 1838 par A. Miquel, ce résultat fut dénommé théorème du pivot par Forder.

Théorème des quatre cercles : si (C1), (C2),(C3) et (C4) sont quatre cercles, si A1 et B1 sont les intersections de (C1) et (C2), A2 et B2 les points d’intersection de (C2) et (C3), A3 et B3 les intersections de (C3) et (C4) et A4 et B4 les intersections de (C1) et (C4), les points A1, A2, A3, A4 sont alignés ou cocycliques si et seulement s’il en est de même des points B1, B2, B3, B4.

Théorème du sixième cercle : Si ABCDE est un pentagone quelconque. Si F, G, H, I, J sont les points d’intersection des côtés (EA) et (BC) , (AB) et (CD), (BC) et (DE), (CD) et (EA), (DE) et (AB), alors les points d’intersection des cinq cercles circonscrits à (ABF), (BCG), (CDH), (DEI), (EAJ) sont situés sur un sixième cercle qui contient aussi les centres des cinq cercles précédents.
Réciproque : Théorème des cinq cercles : si (C1), (C2), (C3), (C4), (C5) sont cinq cercles dont les centres sont sur un cercle (C) et qui se coupent entre voisins sur (C) alors les cinq droites joignant les points d’intersection non situés sur (C) d’un cercle avec ses voisins se rencontrent sur les cercles.