courbe de Bolzano-Lebesgue

ANALYSE

Pour représenter géométriquement une fonction de Bolzano , on part d’un segment joignant l’origine au point de coordonnées (1,1) du plan (étape 0). On le coupe en trois segments égaux, on fixe les extrémités initiales et on multiplie la pente des deux segments extrêmes par un réel t, enfin, on transforme le segment intermédiaire de sorte de maintenir la continuité (étape 1). On applique de nouveau le mécanisme précédent à chacun des trois segments de cette ligne brisée (étape 2) et on recommence à l’infini. Chaque ligne brisée obtenue est la courbe représentative d’une fonction réelle continue définie sur le segment [0,1]. On peut montrer que cette suite de fonctions converge uniformément, la fonction limite est appelée fonction de Bolzano.
La fonction de Bolzano est continue mais dérivable en aucun point car les pentes des segments des lignes brisées intermédiaires tendent vers l’infini. Le graphe d’une telle fonction fait penser à un mouvement brownien, c’est à dire un mouvement changeant de direction à chaque instant.
Cette construction peut être traduite de la façon suivante :

Si pour t dans ]0,1[, on considère les trois contractions Ft, Gt, Ht définies par :
Ft(x, y) = (x/3, ty)
Gt(x,y) = ((x+1)/3,(1-2t)y)
Ht(x, y) = ((x+2)/3, ty+1-t)),
on obtient un attracteur qui, pour t=2/3, est la courbe de Bolzano-Lebesgue. (source : site mathcurve)