conjecture de Hardy et Littlewood
ARITHMETIQUE
Hardy et Littlewood, qui ont travaillé ensemble pendant de nombreuses années, ont laissé deux conjectures en théorie des nombres.
La conjecture des nombres premiers jumeaux postule qu’il en existe une infinité.
La première conjecture de Hardy-Littlewood concerne les nombres premiers jumeaux :
On note π2(x) le nombre de nombres premiers p ≤ x tels que p + 2 soit aussi premier.
On note C2 le nombre suivant :
C2 = ∏ p (p-2) / (p-1)2 (où le produit porte sur l’ensemble des nombres premiers p ≥ 3), valeur voisine de 0,66016…
C2 est appelé constante des nombres premiers jumeaux ou constante de Shah et Wilson.
La conjecture de Hardy-Littlewood énonce :
π2(x) ≈ 2 C2 ∫2x dt / (ln t)2.
Une conséquence de cette conjecture serait que le nombre de nombres premiers jumeaux est infini (puisque le second membre a une limite infinie).
La seconde conjecture de Hardy-Littlewood concerne les nombres premiers.
Soit π(x) le nombre de nombres premiers p tels que p ≤ x, la conjecture énonce que : π(x + y) – π(x) ≤ π(y) pour tous x, y ≥ 2.
Cet énoncé n’a été ni démontré ni infirmé. Cependant il est incompatible avec la première conjecture de Hardy-Littlewood (cela a été démontré par Ian Richards en 1974). Il est vraisemblable que cette conjecture sera infirmée.