concept de symétrie

notion de symétrie

GEOMETRIE

Le concept de symétrie va bien au-delà des simples symétries géométriques. La symétrie est basée sur l’idée platonicienne d’harmonie.
Quand les gens parlent de symétrie, ils évoquent généralement la vision d’images dont l’ensemble est agréablement équilibré, comme la symétrie des ailes de papillon, le dessin des pépins quand vous coupez une pomme en deux, ou un visage vu de face.
De façon plus générale, un système est symétrique quand on peut permuter ses éléments en laissant sa forme inchangée. Ainsi le concept de la symétrie devient une opération mathématique qui, appliquée à un objet mathématique, conserve certaines propriétés de cet objet.

Exemples d’occurrence du concept de symétrie :
– On parle de symétrie sphérique pour tout phénomène ne dépendant que de la distance à un point fixe (par exemple symétrie sphérique d’un champ de forces).
– On parle de symétrie icosaédrique pour un objet ayant les mêmes éléments de symétrie (centre, axe, plan) qu’un icosaèdre .
– Une fonction symétrique des racines d’une équation est invariante par permutation de ses racines.

– Dans le cadre de la géométrie, le concept de symétrie renvoie essentiellement à certaines isométries du plan et de l’espace.

1) La symétrie centrale de centre O qui transforme un point M en M’ tel que O soit le milieu de du segment MM’ .Dans le plan c’est une rotation de centre O et est donc un déplacement . Dans l’espace orienté ce n’est pas un déplacement.

2) La symétrie orthogonale par rapport à une droite (D) dans le plan transforme tout point M en M’ tel que (D) soit la médiatrice du segment MM’. C’est un anti-déplacement dans le plan orienté. On utilise aussi les dénominations de symétrie axiale , de symétrie droite, de symétrie orthogonale.

3) La symétrie axiale d’axe (D) dans l’espace transforme tout point M en M’ tel que dans le plan défini par M et (D) la médiatrice de MM’ est la droite (D) ; dans l’espace orienté c’est un déplacement car c’est aussi la rotation d’angle π et d’axe (D).

4) Dans l’espace la symétrie par rapport à un plan (P) transforme tout point M en M’ tel que le plan (P) soit le plan médiateur du segment MM’ ; c’est un anti-déplacement dans l’espace orienté.

5) Dans un espace vectoriel E on appelle symétrie vectorielle tout endomorphisme s tel que s0s = idE.

6) Dans le plan la symétrie oblique d’axe (D) et de direction (d) transforme tout point M en M’ tel que MM’ soit parallèle à (d) et que le milieu du segment MM’ appartienne à (D).