cross-cap

ANALYSE
GEOMETRIE

Une cross-cap est une surface à bord unilatère, obtenue en attachant un ruban de Möbius au bord d’un disque – c’est l’une des trois issues possibles de cette construction, les deux autres étant la surface de Boy et la surface romaine

On peut itérer la construction :
• une sphère avec une cross-cap est un modèle du plan projectif réel, qui ne possède pas toutefois sa structure affine, et est parfois appelée cross-surface ;
• une sphère avec deux cross-caps est un modèle de la bouteille de Klein ;
• une sphère avec trois cross-caps est appelée surface de Dyck, et est homéomorphe à la somme connexe du plan projectif et du tore d’après un théorème de Walther von Dyck2.

Ces surfaces apparaissent dans le théorème de classification des variétés de dimension 2 (de) : toute variété compacte de dimension 2 et sans bord est homéomorphe à la sphère (munie d’un certain nombre d’anses) avec 0, 1, ou 2 cross-caps.
À proximité de l’auto-intersection, la cross-cap ressemble au parapluie de Whitney, donc possède des points cuspidaux.