cubique
GEOMETRIE
Une cubique (plane ou gauche) est une courbe algébrique du troisième degré. Newton , en 1708 en dénombre 78 espèces et Plücker 219 (en 1835).
Dans l’espace les cubiques sont les intersections de deux quadriques réglées ayant une droite commune.
Cubique gauche : courbe de l’espace que tout plan coupe en trois points, réels ou imaginaires, distincts ou confondus.
Dans le plan.
Newton propose plusieurs modes de générations des cubiques. Notamment il énonce « ainsi que le cercle, étant présenté à un point lumineux, donne par son ombre toutes les courbes du second degré, de même les cinq paraboles divergentes donnent par leur ombre toutes les courbes du troisième degré« . Les cubiques ont été étudiées par de nombreux mathématiciens (dont Stirling , Maclaurin , Clairaut ).
Toute cubique est projectivement équivalente à une parabole divergente (équation cartésienne y2 = P(x) où P est un polynôme du troisième degré). Ce théorème est parfois appelé théorème de Newton.
On distingue deux classes de cubiques :
Les cubiques elliptiques, d’équation cartésienne : y2 = 4x3+px+q avec 4p3+27q2≠ 0 .
Si le discriminant est positif elle est à une seule branche, si le discriminant est négatif elle est formée d’une branche et un ovale. Elles n’ont pas de point singulier.
Les cubiques rationnelles ont un point singulier, une paramétrisation cartésienne de la forme : x=P(t)/R(t) ; y=Q(t)/R(t) où P, Q et R sont trois polynômes à coefficients réels de degré maximum 3.