développement en série de Lagrange

série de Lagrange

ANALYSE

I un intervalle réel et a un élément de I, E un espace vectoriel normé, f une application de I dans E, dérivable en a jusqu’à l’ordre n, alors : pour tout x∈ I, f(x) = f(a) +(x-a)f'(a)/1! + (x-a)²f⁽²⁾(a)/2! +………….+(x-a)ⁿf⁽ⁿ⁾(a)/n! +Rn(x).
Cette formule a été établie par Taylor sans précision sur le reste Rn. Ce sont les propriétés du reste qui différencient les divers développements.
Dans celui deLagrange : si il existe un réel M tel que pour tout y de I |f⁽ⁿ⁺¹⁾ (y)| ≤ M alors |Rn(x)| ≤ M |x-a|ⁿ⁺¹/(n+1)!