équations de Cauchy-Riemann

ANALYSE

Dans le cadre de la théorie des fonctions d’une variable complexe, les équations de Cauchy-Riemann sont deux équations aux dérivées partielles exprimant une condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction différentiable au sens réel en un point soit différentiable au sens complexe en ce point.
On considère une fonction f : U → C d’une variable complexe, définie sur un ouvert U du plan complexe C .
f(z) =P(x, y) + iQ(x, y), où sont deux fonctions réelles de deux variables réelles.
Supposons la fonction différentielle au sens réel en z0 comme fonction de deux variables. Une condition nécessaire et suffisante pour qu’elle soit C-différentiable (holomorphe) en z0 est qu’elle vérifie les équations de Cauchy-Riemann :
(∂ P/∂ x)(x0, y0) = (∂ Q/∂ y)(x0, y0) et (∂ P/∂ y)(x0, y0) = – (∂ Q/∂ x)(x0, y0)