espace de Lebesgue

ANALYSE

Soit (X,B,m) un espace mesuré et p1≥ 1 un réel. On appelle espace de Lebesgue
l^p(X) = {f : X→ IR ; f mesurable et ∫X I f I^pdm < +∞ }.

l^p(X) est muni de la semi-norme :
II f IIp = ( ∫X I f I^p dm)^1/p

Pour en faire un espace normé, il faut identifier les fonctions qui sont égales presque partout. L’ensemble des classes d’équivalence modulo cette relation est noté L^p(X). C’est un espace de Banach pour la norme précédente.
Le cas p=∞ est un peu spécial. l^∞(X) est défini par :
l^∞(X) = {f : X→ IR ; f mesurable et ∃ C ≥ 0, I f I ≤ C m-presque partout}.
On le munit de la semi-norme :
II f II∞ = inf {C ≥ 0 ; I f I ≤ C m-presque partout}.
Comme précédemment, l’ensemble des classes d’équivalence de cet espace pour la relation d’égalité presque partout forme un espace de Banach, noté L^∞ (X) .
(source : site bibmath)