formule de Cardan

méthode de Cardan

ALGEBRE

Les formules de Cardan donnent les solutions de l’équation du troisième degré écrite sous la forme x³ + px + q = 0

Δ = q² + (4/27) . p³ , Δ est appelé discriminant.
On pose :
u = ³√[(1/2)( -q + √ Δ)]

v = ³√[(1/2)( -q – √ Δ)]

Si Δ > 0 l’équation admet une solution réelle et deux solutions complexes qui s’expriment de la manière suivante en fonction de u et v : la solution réelle est u+v, les deux solutions complexes sont respectivement ju + j v et j² u + j^2∼ v avec j = e^2iπ/3 et u^∼ désigne l’imaginaire conjugué de u.

Si Δ = o il y a une solution réelle simple et une solution double elle aussi réelle qui sont respectivement 3q/p et -3q/(2p).
Si Δ < 0 alors les 3 solutions sont complexes et sont respectivement :
u + v^∼
ju + (jv)^∼
j²u +( j²v)^∼.

Il y eut une polémique entre Cardan et Tartaglia sur l’antériorité de cette méthode.