fonction fuchsienne

ANALYSE

Ce sont des fonctions qui ont pour variable un nombre complexe. Elles sont définies sur une partie D du plan complexe avec les deux propriétés suivantes :
1) elles sont dérivables sur D sauf en un nombre fini de points isolés (qu’on appelle les pôles de la fonction) où elles ne sont pas définies et tendent vers l’infini .
2)Elles restent invariantes si l’on applique à leur variable un ensemble donné de transformations.
Elles ont été nommées ainsi par Poincaré en l’honneur de Fuchs qui avait utilisé des fonctions particulières de ce type pour résoudre des équations différentielles du second ordre de la forme y » + A(x)y’ + B(x) y =0.
En 1881-1882 Poincaré les a généralisées et a développé la théorie générale des sous-groupes discrets, ou groupe fuchsiens et a introduit les fonctions méromorphes dans le demi-plan supérieur et invariantes par un tel sous-groupe, ou fonctions fuchsiennes telles que f[(az+b)/(cz+d)] =f(z) pour tout du demi-plan supérieur et (az+b)/(cz+d) appartenant au groupe considéré.
Un groupe fuchsien admet un domaine fondamental polygone à cotés circulaires et Poincaré construit inversement les groupes fuchsiens à partir de ce polygone soumis à plusieurs restrictions qu’il détaille.
Les images du polygone/domaine fondamental par les différents éléments du groupe fuchsien associé forme un pavage du plan que les gravures d’Escher on popularisé.