fonction semi-continue
ANALYSE
f est semi-continue inférieurement en x0 si l’une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :
pour tout ε> 0, il existe un voisinage U de x0 tel que pour tout x ∈ U : f(x)≥ f(x0)-ε
ou
liminf f(x)x→ x0≥f(x0), où liminf désigne la limite inférieure (d’une fonction en un point).
D’où la définition plus globale
X un espace topologique , u une fonction de X vers ]-∞, ∞] est dite semi-continue si pour réel c , {x ; u(x)>c} est un ouvert de X.
De même on définit les fonctions semi continues supérieurement :
f est semi-continue supérieurement en x0 si l’une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :
pour tout ε> 0, il existe un voisinage U de x0 tel que pour tout x ∈ U : f(x) ≤ f(x0)+ε
ou
limsup f(x)x→ x0≤f(x0), où limsup désigne la limite supérieure (d’une fonction en un point).
D’où la définition plus globale
X un espace topologique , u une fonction de X vers [-∞, ∞[ est dite semi-continue si pour réel c , {x ; u(x) < c} est un ouvert de X