formule de Bretschneider
formule de Coolidge
GEOMETRIE
La formule de Bretschneider ou formule de Coolidge donne l’aire d’un quadrilatère (convexe ou concave mais pas croisé).
Pour plus de lisibilité nous écrivons le carré de l’aire :
S2 = (p-a)(p-b)(p-c)(p-d) – abcd.cos2((B+D)/2)
où a, b, c, d sont les longueurs des côtés, p le demi-périmètre, B et D les mesures de deux angles opposés.
La formule de Brahmagupta en est un cas particulier : pour un quadrilatère de côtés a, b, c, d donnés, l’aire maximale est lorsque ce quadrilatère est inscriptible (B+D = 180°), le terme en cos2 est alors nul et on retrouve la formule de Brahmagupta.
Elle généralise la formule de Héron qui donne l’aire d’un triangle.
La formule de Bretschneider a été découverte en 1842 par Carl Anton Bretschneider (1808-1878), mathématicien allemand qui a notamment travaillé sur la géométrie, la théorie des nombres et l’histoire de la géométrie.
Pour certains auteurs cette formule aurait été découverte par le mathématicien américain Julian Coolidge (1873-1954) et publiée en 1939 dans la revue American Monthly.
Bretschneider aurait démontré la formule suivante :
4 S2 = (4 p2q2 – (d2+b2-a2-c2)2 où p et q sont les longueurs des diagonales, où a, b, c et d sont les longueurs des côtés et S l’aire du quadrilatère.
La formule de Breitschneider peut être étendue à la dimension 3 et donne le volume d’un octaèdre, et à la dimension n pour un hyperoctaèdre (voir
https://www.amq.math.ca/bulletin/articles/vol-56-no-02-p-65/ )