Gödel Kurt

ELEMENTS DE BIOGRAPHIE
FONDEMENTS DES MATHEMATIQUES

Kurt Gödel, (1906-1978) mathématicien austro-américain.
L’histoire du début du 20e siècle a fait que, né austro-hongrois, il a successivement eu les nationalités tchécoslovaque, autrichienne, allemande (lors de l’annexion de l’Autriche). Emigré aux Etats-Unis pendant la seconde guerre mondiale, il obtient la nationalité américaine en 1948.
Elève et étudiant brillant en physique, mathématiques et philosophie, il étudie la théorie des nombres puis se tourne vers la logique mathématique.
En 1931 il publie le théorème d’incomplétude dans son article Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés. (Les Principia Mathematica sont une œuvre d’Alfred North Whitehead et Bertrand Russell , publiés en 1910-1913, qui traite des fondements des mathématiques.
Il prouve dans cet article que pour tout système axiomatique susceptible de formaliser les nombres naturels, on peut affirmer que :
1. Il ne peut être à la fois cohérent et complet (ce qui est le théorème connu sous le nom de Théorème d’incomplétude.)

2. Si le système est cohérent, alors la cohérence des axiomes ne peut pas être prouvée au sein même du système.

Ces théorèmes mirent fin à des siècles aux tentatives de proposer un jeu d’axiomes définitif pour construire l’arithmétique sur une base axiomatique et le seul support logique. Ils impliquent aussi qu’il y a des questions mathématiques qui sont valides, mais qui ne sont pas démontrables.

Continuant ses travaux en logique et sur les fondements des mathématiques, il énonce des théorèmes sur les relations indécidables et la consistance des mathématiques. Une relation est indécidable si on ne peut dire, au moyen des axiomes, si elle est vraie ou fausse. Une théorie est non consistante si elle contient un théorème qui est à la fois vrai et faux.

Les travaux de Gödel sur la logique mathématique ont révolutionné la pensée du 20e siècle.