Le Miroir des maths. N° 11. p. 13-25. A la rencontre de la croix et du pentagone célestes (I).

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Auteurs : Salles-Legac Danielle ; Rodriguez Herrera Ruben ; Lehman Eric ; Bock Anne-Marie

Résumé

Dans cet article, les auteurs présentent un certain nombre d’activités innovantes et de niveau varié autour du nombre d’or qui, tout en étant utilisées « sur le tas » par de nombreux peintres du XVIe siècle (Raphaël, De Vinci, Piero della Francesca, etc.) n’ont pas été étudiées de façon précise et exhaustive en mathématique.
Etudier ces réalisations est une bonne occasion de réfléchir sur la difficulté de la maturation des connaissances qui peut parfois prendre … quelques siècles.
En effet, en étudiant les différentes constructions des « Rectangles d’or » (dont les longueurs des côtés sont dans le rapport du nombre d’or), il est intéressant d’observer la succession de leurs diagonales. Les figures montrent l’existence d’un pentagone non régulier mais réellement esthétique auquel les auteurs se sont intéressés, ainsi que certaines croix formées par les diagonales de rectangles d’or successifs appelés : « Pentagone Céleste » et « Croix Céleste » en référence à la Croix du Sud, visible dans le ciel de l’hémisphère Sud où est né l’un des auteurs, Ruben Rodriguez.

Abstract

We present herewith new results and activities about a very ancient subject : the Golden Number. When constructions of Golden Rectangles are studied, it is natural to observe the succession of their diagonals. The figures show the existence of an exiting pentagon, not regular but really esthetic. We have named it « the Celestial Pentagon » in memory of the South Cross visible in the sky of the south hemisphere where Ruben Rodriguez is born. It is well known that many connections between Fibonacci sequences and the succession of the Golden Rectangles exist.
We give the exact algebraical measure of the trigonometric lines of the angles of the celestial pentagon, then we prove that the branches of what we call the « Celestial Cross » have many fine properties similar to the Fibonacci sequences ones. These activities are of different levels of difficulty and can be presented to future teachers as well as to seventeen years old students.

Resumen

Les presentamos nuevos resultados y actividades alrededor de un muy antiguo tema: el « Numero de Oro ». Cuando estudiamos diferentes construcciones de los « Rectángulos de Oro » es interesante de observar la sucesión de sus diagonales. Las figuras muestran un pentágono que no es regular pero realmente estético y nos interesó, y, también la Cruz que forman las diagonales de dos Rectángulos de Oro sucesivos. Los hemos llamado el « Pentágono Celeste » y la « Cruz Celeste » recuerdo a la Cruz del Sur que se ve en el cielo del sur-hemisferio donde nació Ruben Rodriguez.
Es bien conocido que hay muchas conexiones entre las series de Fibonacci y las sucesiones de los rectángulos de oro.
Calculamos el valor algébrico de las lineas trigonométricas de los ángulos de los pentágonos celestes y de sus lados. Probamos que las ramas de lo que llamamos la « Cruz Celeste » tienen muchas propiedades de las series de Fibonacci. Estas diferentes actividades son de dificultades variadas, entonces pueden ser propuestas a los estudiantes hasta el final del liceo superior, y también a los estudiantes profesores de la Universidad.

Notes

Article du Miroir des maths n° 11.

Données de publication

Éditeur IREM de Basse-Normandie Caen , 2013 Format A4, p. 13-25
ISSN 1969-7929 (imprimé) – 1760-6500 (en ligne)

Public visé élève ou étudiant, enseignant Niveau 1re, 2de, lycée, terminale Âge 15, 16, 17

Type article de périodique ou revue Langue français Support papier