Cet article, issu d’un mémoire de DEA de didactique des mathématiques, comporte trois parties :
– Dans la première partie, l’auteur définit brièvement le concept de contrat didactique.
– Dans la deuxième partie, une étude d’un manuel permet d’expliciter des caractéristiques d’un contrat didactique spécifique à la notion de la racine carrée en classe de troisième.
– La troisième partie présente les résultats d’une expérimentation ou des exercices « hors contrat » sont proposés à des élèves de troisième.

Le but de l’article est d’étudier les réactions des élèves de troisième, utilisant un certain type de manuel, si on leur propose des exercices concernant la notion de racine carrée et qui dérogent par rapport aux règles du contrat didactique sous-jacent au manuel en vigueur dans la classe. Les résultats de l’expérimentation montrent que
– « une rupture de contrat n’entraîne pas un arrêt du travail de l’élève ;
– l’élève fonctionne sous les contraintes d’un contrat qui est qu’ »un problème proposable possède une réponse », phénomène analysé par Yves Chevallard à propos de « l’âge du capitaine » ;
– l’élève cherche à respecter les règles du contrat spécifique de la notion de racine carrée et du type d’exercice; quand il ne le peut pas (il n’a pas obtenu un unique radical par exemple pour la simplification), il peut engager des pratiques régies par les règles d’un autre contrat (factorisation par exemple) ou bien il peut montrer ce qu’il sait faire (décomposer les nombres dans le radical en un produit des facteurs par exemple) et pourquoi il ne peut pas aller plus loin (dans la simplification par exemple) ».