Petit x. N° 37. p. 5-33. Vérité des axiomes et des théorèmes en géométrie. Vérification et démonstration.
English Title : On the truth of geometric axioms and theorems – verification and proofs. (ZDM/Mathdi)
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Auteur : Arsac Gilbert
Résumé
Les axiomes sont des énoncés admis comme vrais, alors que les théorèmes sont des énoncés démontrés à partir d’autres résultats. L’un des grands problèmes en géométrie est de savoir comment déterminer les axiomes. Abstract The scientific structure of geometry for which axioms are at the beginning and from which all other geometrical statements are derived, cannot be transferred to school. The transition from the collection of facts to proving geometry makes the pupils feel unsecure, because it is not clear, what may be assumed and what has to be proven. By means of a geometrically formulated triangle inequation it is investigated which means of verification and argumentation are applied by pupils and how reasonable or necessary for proving is this connection for the pupils. (ZDM/Mathdi) Zusammenfassung Der fachwissenschaftliche Aufbau der Geometrie, bei dem Axiome am Anfang stehen und aus ihnen alle anderen geometrischen Aussagen hergeleitet werden, kann icht in die Schule uebernommen werden. Der Uebergang vom Sammeln von Sachverhalten zur beweisenden Geometrie verunsichert die Schueler, weil nicht klar ist, was vorausgesetzt werden darf und was bewiesen werden muss. Am Beispiel der geometrischen formulierten Dreiecksungleichung wird untersucht, welche Mittel der Verifikation und Argumentation Schueler verwenden und wie einsichtig oder beweisnotwendig dieser Zusammenhang fuer die Schueler ist. (ZDM/Mathdi)
L’enseignement de la géométrie au collège se base sur l’intuition acquise en classes de 6e et 5e et sur l’usage expérimental des instruments pour aboutir ensuite à un raisonnement plus rigoureux ; il s’agit d’apprendre aux élèves à acquérir certains réflexes comme « Quelles hypothèses a-t-on ? », « De quels outils dispose-t-on ? », « Que veut-on démontrer ? ».
D’où le problème pour l’enseignant de savoir quelles propriétés faire admettre comme vraies et de les faire accepter comme tel par les élèves.
S’en suivent des expériences sur l’inégalité triangulaire : les élèves ont tendance à utiliser le dessin comme une preuve ; même lorsqu’ils ont réussi à mettre en évidence une condition nécessaire d’existence du triangle. On constate que les élèves ont du mal à tracer un triangle aplati.
Le but de ces expériences est de faire accepter la règle suivante : « en géométrie, un dessin ne suffit pas à conclure. »
Notes
La revue Petit x, créée en 1983 par l’IREM de Grenoble, veut favoriser la diffusion de recherches, de réflexions, de comptes rendus de travaux et d’activités réalisés dans les classes de l’enseignement secondaire, dans le domaine des mathématiques et de leur enseignement. Petit x s’intéresse aussi aux problèmes des transitions entre l’école primaire et le collège, le collège et le lycée et entre le secondaire et l’enseignement post-baccalauréat.
La revue Petit x publie trois numéros par an. Chaque numéro comprend un éditorial, trois articles d’environ 20 pages, et des activités réalisables en classe avec les élèves.
Toutes les informations sont disponibles sur le site de l’IREM de Grenoble sous la rubrique Petit x. Les articles des anciens numéros sont progressivement mis en ligne.
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Données de publication
Éditeur IREM de Grenoble Grenoble , 1995 Num. 37 Format A4, p. 5-33 Index Bibliogr. p. 31-32
ISSN 0759-9188
Public visé chercheur, enseignant, formateur Niveau 3e, 4e, 5e, 6e, collège Âge 11, 12, 13, 14
Type article de périodique ou revue Langue français Support papier
Classification