Les objectifs de ce livre sont :
– donner un exposé mathématique du début du travail de Hilbert en allant jusqu’au point où le lecteur pourra voir la bifurcation entre géométrie euclidienne et non euclidienne ;
– fournir un éclairage historique et épistémologique sur le cadre du travail de Hilbert, ses buts, son inscription dans l’histoire des maths ;
– utiliser l’axiomatique de Hilbert comme outil d’analyse et de compréhension de l’enseignement traditionnel de la géométrie au collège et au lycée.

L’ouvrage commence par rappeler le rôle et la définition des axiomes et des mots premiers. Il expose ensuite l’axiomatique de Hilbert et étudie systématiquement les conséquences des divers groupes d’axiomes, en abordant la question d’indépendance et la notion de modèle. Cet exposé de résultats élémentaires consacré à la géométrie euclidienne et à la géométrie non euclidienne se termine par un chapitre traitant de leurs différences en ce qui concerne la somme des angles et l’aire d’un triangle.

Cet ouvrage vise en particulier à pallier les manques dans la formation initiale en géométrie des enseignants. Dans un souci de complétude, il comporte en annexe l’axiomatique d’Euclide, quelques notions de géométrie projective et une axiomatique du plan affine.

On peut lire ce livre de plusieurs manières :
– comme un cours de géométrie euclidienne avec une axiomatisation à la manière de Hilbert
– comme une initiation à la géométrie non euclidienne
– comme une source de renseignements d’ordre historique.

La conclusion tire les leçons didactiques de cette étude mathématique.