Le présent ouvrage s’adresse à la fois aux étudiants en Maîtrise de Mathématiques, mention Ingénierie Mathématique, aux Professeurs Certifiés de Mathématiques qui souhaitent préparer l’Agrégation de Mathématiques, et aussi aux étudiants en Maîtrise de Physique qui souhaitent consolider leur formation mathématique afin d’être mieux armés pour entreprendre un 3è Cycle en Physique Mathématique.

Son contenu, modeste, consiste en une introduction aux concepts et outils de base de la géométrie différentielle et intégrale. Les objectifs sont plus ambitieux, compte tenu du public visé. Il s’agit en effet de permettre :
– d’accéder à la notion générale de variété différentiable modelée sur IRn et aussi à celle de groupe de Lie, ainsi que d’étudier quelques types fondamentaux de courbes et de surfaces de IR3,
– d ‘avoir un premier contact sérieux avec l’algèbre graduée des formes différentielles et le calcul extérieur associé,
– de savoir intégrer une d-forme différentielle sur une variété compacte orientée régulière plongée dans IRn , et savoir appliquer la formule de Stokes et quelques-uns de ses avatars,
– de faire connaissance avec quelques techniques d’interpolation jouant un rôle important dans les problèmes de modélisation géométrique de semis de points,
– enfin, pour ce qui concerne la géométrie des surfaces, d’apprendre à être opérationnel avec le repère mobile, de comprendre : ce qu’est une structure riemannienne, ce que sont les courbures (absolue, normale, géodésique) d’une courbe d’une surface, de se familiariser avec les formules de Gauss et même, de prendre connaissance avec les symboles de Christoffel.

L’ouvrage s’est voulu, autant que faire se peut, auto-suffisant ; c’est pourquoi, si l’on excepte une référence donnée à propos d’une démonstration de la formule de Stokes dans sa version la plus générale, il ne contient pas de bibliographie ; d’aucuns pourront aussi lui reprocher d’être trop élémentaire dans certains domaines, voire muet dans d’autres. Il a fallu faire un choix par rapport aux publics et aux objectifs visés. Il existe en effet dans la littérature de nombreux et remarquables manuels de 2e et 3e cycle en géométrie différentielle et intégrale, certains se plaçant sur le terrain de la « théorie » et d’autres traitant de ses aspects « appliqués » à la modélisation géométrique. Le présent document a également pour mission de faciliter leur lecture afin d’approfondir les diverses notions abordées ici, tant sur le plan théorique que sur le plan des applications.